Algebroides De Courant, Geometría Con Graduación Y Estructuras De Dirac.

En matemáticas la noción de espacio geométrico recibe el nombre de variedad diferencial o variedad algebraica. Desde el siglo pasado, no sólo los matemáticos han estado interesados en el estudio y clasificación de tales objetos sino también los físicos teóricos debido a su interés por entender las diversas teorías de campos, clásicas y cuánticas, y la teoría de la Relatividad de Einstein, [3], [4] y [7]. Algunos matemáticos estudian el marco teórico donde los cálculos teóricos de la física, (huecos negros, dimensión del universo, cuantización), tienen cabida; a manera de ejemplo la mecánica Lagrangiana y la mecánica Hamiltoniana se escriben rigurosamente en el contexto de las variedades de Poisson o en el contexto de estructuras de Dirac inmersas en un algebroide de Courant canónicamente definido en cualquier variedad diferencial o algebraica, [8]. Cabe notar que los algebroides de Courant son ejemplos de estructuras algebraicas definidas sobre variedades que han sido estudiadas para resolver problemas de obstrucción, la primera clase de Pontryagin, construcción de invariantes topológicos y geométricos y problemas de clasificación cohomológica, [3], [13], [14]. Adicionalmente, estos algebroides son el marco teórico para estudiar algunas teorías clásicas de campos a través del formalismo de los modelos sigma, los cuales son un área de investigación donde la teoría de Lie en infinitas dimensiones y la teoría de Categorías se entrelazan para dar pie a la construcción de nuevas clases características, nuevos modelos de cohomología, nuevas categorías de módulos sobre algebroides, y enfoques alternativos para estudiar geometría en un espacio geométrico general de la mano de la geometría con graduación, [1], [2], [3], [5] y [17]. En esta propuesta de investigación queremos continuar con el estudio de los algebroides de Courant a partir de [3], [4] y [11] para lograr en unos años escribir una teoría para cualquier variedad en términos de su dimensión y sus clases características primarias y secundarias.

In mathematics the notion of geometric space is called differential variety or algebraic variety. Since the last century, not only mathematicians have been interested in the study and classification of such objects but also theoretical physicists because of their interest in understanding the various theories of fields, classical and quantum, and the theory of Einstein's Relativity, [3], [4] and [7]. Some mathematicians study the theoretical framework where the theoretical calculations of physics (black holes, dimension of the universe, quantization), have a place; as an example, Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics are rigorously written in the context of Poisson varieties or in the context of Dirac structures immersed in an algebroid of Courant canonically defined in any differential or algebraic variety, [8]. It should be noted that Courant algebroids are examples of algebraic structures defined on varieties that have been studied to solve problems of obstruction, the first class of Pontryagin, construction of topological and geometric invariants and problems of cohomological classification, [3], [13] , [14]. Additionally, these algebroids are the theoretical framework to study some classical theories of fields through the formalism of the sigma models, which are an area of research where the theory of Lie in infinite dimensions and the theory of categories are intertwined to give rise to the construction of new characteristic classes, new models of cohomology, new categories of modules on algebroids, and alternative approaches to study geometry in a general geometric space in the hand of geometry with graduation, [1], [2], [3] , [5] and [17]. In this research proposal we want to continue with the study of Courant algebroids from [3], [4] and [11] to achieve in a few years to write a theory for any variety in terms of its size and primary and secondary characteristic classes.

Algebroides de Courant, variedades diferenciales con graduación, equivalencia de categorías, sheaves y descenso. Localización suave. Acciones de grupos y teoría equivariante. Estructuras de Dirac.